2024年广州一模数学单选压轴题分析解答与高考复习建议 -好学教育

　　一，题目呈现

　　这道题是昨天考的广州一模的单选最后一题，题目质量很好，考察学生的分析问题解决问题能力，调用数学工具能力和数学运算能力。

　　二，题目分析和解答

　　1，考察“自然语言转化为数学语言”

　　α和β是两个零点这句话，学生能不能得到一个关于α和β的数学关系式?这需要学生熟悉三角函数的图像，实际上考察的是三角函数的对称性，两个零点关于三角函数的对称轴对称。因为两个零点在第一象限，所以这条对称轴也一定在第一象限。正弦函数函数对称轴就是经过正弦函数最高点或最低点且与x轴垂直的直线，容易看出当2x+π/6=π/2时，也即是x=π/6是对称轴，所以α和β关于x=π/6对称，进而α+β=π/3①。

　　2，考察化归思想

　　由于α和β是两个零点，根据零点的定义，化简可得

　　sin(2α+π/6)=2/3②，

　　sin(2β+π/6)=2/3③。

　　结合刚才得到的α+β=π/3，题目转化成了已知三个等式①②③，求cos(α-β)。至此，题目从定义，从图像，转到了三角运算。

　　3，考察数学运算数学素养

　　运算，不是硬算，更不是死算，而是在逻辑的指导之下，选择运算方向和运算策略，要算什么，什么是不需要算的，怎么算才最省时间，这些都是要考虑的。

　　解法1，消元思想指导下的运算

　　要我算cos(α-β)，角α-β有两个变量，我可以用α+β=π/3①这个结论消掉一个变量，cos(α-β)=cos(2α-π/3)④，出现2α了，与②很像了，条件和要求的越来越接近了，很开心。cos(2α-π/3)和sin(2α+π/6)=2/3有什么联系呢?我相信这种题目大多数学生之前都做过不少。2α+π/6和2α-π/3相差π/2，cos和sin互化公式也是相差π/2，主要不要搞错符号就行，

　　cos(2α-π/3)=sin(2α+π/6)=2/3。

　　或者这样思考也行，2α-π/3逆时针旋转九十度，就是2α+π/6，单位圆上的点旋转了90°，(x，y)变成了(y，x)，根据三角函数的定义，所以cos(2α-π/3)=sin(2α+π/6)=2/3。这就是考察三角函数的本质，点的坐标与旋转，根本没有用到什么公式。

　　解法2，综合法指导之下的运算

　　已知

　　α+β=π/3①，

　　sin(2α+π/6)=2/3②，

　　sin(2β+π/6)=2/3③。

　　求cos(α-β)。

　　由②和③，我用和差化积公式

　　sin(2α+π/6)+sin(2β+π/6)=4/3。

　　和化积公式，要把括号里面两个角化为他们的和的一半，差的一半。

　　括号里面两个角相加除以2，出现α+β，而α+β=π/3就是①，这是已知。